【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第一节数列的概念与表示-208d0c48942b

课标要求

通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

1.数列的概念

提醒 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.

2.数列的分类及性质

3.数列的表示方法

4.数列与函数的关系

数列{a_n}是从正整数集N^*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是　　　　，对应的函数值是　　　　　　　，记为a_n＝f（n）.

1.在数列{a_n}（n≥2）中，若a_n最大，则若a_n最小，则

2.若a_n＋k＝a_n（k为非零常数），则数列{a_n}为周期数列，k为{a_n}的一个周期.

3.若数列{a_n}的前n项和为S_{n，通项公式为}a_n，则a_n＝

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（）

（2）1，1，1，1，…，不能构成一个数列.（）

（3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（）

（4）如果数列{a_n}的前n项和为S_{n，则对任意}n∈N^*，都有a_n＋1＝S_n＋1－S_n.（）

2.已知数列－1，，－，－，…，则该数列的第100项为（）

A.10　　B.－10　　C.－11　　D.

3.（人A选二P8练习3题改编）在数列{a_n}中，a₁＝1，a_n＝1＋（n≥2），则a₅＝（）

A.B.

C.D.

4.已知数列{a_n}满足a_n＝3ⁿ＋kn，若{a_n}为递增数列，则实数k的取值范围是（）

A.（－2，＋∞）B.（－6，＋∞）

C.（－∞，－2）D.（－∞，2）

5.（人A选二P8练习4题改编）已知数列{a_n}的前n项和公式为S_n＝n^2，则a_n＝.

（人A选二P6例4改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为　　　，这个数列的一个通项公式a_n＝.

听课记录解题技法

由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征

（1）分式中分子、分母的特征；

（2）相邻项的变化特征；

（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；

（4）各项的符号特征.

　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）－1，7，－13，19，…；

（2）－，－，…；

（3），…；

（4）9，99，999，9 999，….

（1）（2025·漳州一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若3S_n＝a_n＋1，则＝（）

A.－B.－

C.D.

（2）已知数列{a_n}满足a₁＋2a₂＋3a₃＋…＋na_n＝2^n，则a_n＝.

听课记录解题技法

1.S_n与a_n关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.

（1）利用a_n＝S_n－S_n－1（n≥2）转化为只含S_n，Sn－1的关系式，再求解；

（2）利用S_n－S_n－1＝a_n（n≥2）转化为只含a_n，an－1的关系式，再求解.

2.已知S_n求a_n的3个步骤

（1）先利用a₁＝S₁求出a₁；

（2）用n－1替换S_n中的n得到一个新的关系，利用a_n＝S_n－S_n－1（n≥2）即可求出当n≥2时a_n的表达式；

（3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.

1.数列{a_n}的前n项和S_n＝2ⁿ－3，则此数列的通项公式a_n＝.

2.（2025·湖北模拟）设数列{a_n}满足a₁＋＋…＋＝a_n＝.

考向1数列的周期性

（2025·淄博测试）数列{a_n}满足a₁＝_n＋1＝（n∈N^*），则a_{2 027}＝（）

A.　　　B.3　　　C.－2　　　D.－

听课记录解题技法

解决数列周期性问题的方法

根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项的和.

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