【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第三节函数的奇偶性与周期性-6c535fbb232a

课标要求

1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.

2.会依据函数的性质进行简单的应用.

1.函数的奇偶性

提醒 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称.

2.函数的周期性

（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　　　　　　　　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；

（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.

1.函数奇偶性常用结论

（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；

（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

2.函数周期性常用结论

对f（x）定义域内任一自变量x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；

（2）若f（x＋a）＝T＝2a（a＞0）；

（3）若f（x＋a）＝－T＝2a（a＞0）.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数y＝x²在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（）

（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（）

（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（）

2.（人A必修一P84例6改编）下列函数是奇函数的是（）

A.y＝x²sin xB.y＝x²cos x

C.y＝ln ｜x｜D.y＝2^－x

3.（苏教必修一P127习题5题改编）已知f（x）＝ax²＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）

A.－B.

C.D.－

4.（人A必修一P203练习4题改编）已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x²＋4，则f（2 026）＝.

5.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2^x＋m，则f（－3）＝.

：

（1）f（x）＝＋；

（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；

（3）f（x）＝；

（4）f（x）＝

解题技法

函数奇偶性的判断方法

（1）定义法

（2）图象法

（3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D_{1，D2，那么在它们的公共定义域上}：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x₀使f（－x₀）＝－f（x₀），不能判定函数f（x）是奇函数.

1.（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（）

A.f（x）＝B.f（x）＝

C.f（x）＝D.f（x）＝

2.设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（）

A.是偶函数，且在（，＋∞）上单调递增

B.是奇函数，且在（－）上单调递减

C.是偶函数，且在（－∞，－）上单调递增

D.是奇函数，且在（－∞，－）上单调递减

考向1利用函数奇偶性求值（解析式）

（1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log₂x，则f（－）＋f（4）＝（）

A.－＋2B.1

C.＋2D.3

（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2^x－2x＋a，则a＝；当x＜0时，f（x）＝.

听课记录解题技法

函数奇偶性的应用类型及解题策略

（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式；

（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；

（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.

考向2利用函数奇偶性解不等式

（2025·朔州高三阶段练习）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，则m的取值范围为（）

A.（－∞，0）B.（0，＋∞）C.（－∞，1）D.（1，＋∞）

听课记录

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