【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第一节平面向量的概念及线性运算-96aedec09c91

课标要求

1.理解平面向量的意义、几何表示及两个向量相等的含义.

2.掌握平面向量加、减运算、数乘运算及运算规则，理解其几何意义及两个平面向量共线的含义.

3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

1.向量的有关概念

（1）向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的；

（2）零向量：长度为的向量，记作0；

（3）单位向量：长度等于长度的向量；

（4）相等向量：长度相等且方向的向量；

（5）相反向量：长度相等且方向的向量；

（6）平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行.

提醒 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.

2.向量的线性运算

提醒 向量加法的多边形法则

多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量.

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使.

提醒 当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一.

1.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝（＋）.

2.若G为△ABC的重心，则＋＋＝0；＝（＋）.

3.＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

4.对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）｜a｜与｜b｜是否相等，与a，b的方向无关.（）

（2）若向量a与b同向，且｜a｜＞｜b｜，则a＞b.（）

（3）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.（）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）

2.〔多选〕下列命题中，正确的是（）

A.若a与b都是单位向量，则a＝b

B.直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量

C.若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合

D.海拔、温度、角度都不是向量

3.（人A必修二P22习题4题改编）化简：（1）（＋）＋＋＝；

（2）＋＋－＝.

4.（人A必修二P16例8改编）设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－2a）共线，则λ＝.

5.（苏教必修二P47复习题9题改编）设A，B，C三点在一条直线上，点O在该直线外，已知＝3x＋（2－5x）x＝.

1.如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（）

A.B.

C.D.

2.〔多选〕给出下列命题，其中正确的有（）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若A，B，C，D是不共线的四点，且＝ABCD为平行四边形

C.a＝b的必要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b

D.两个相等向量的模相等

3.〔多选〕对于任意两个向量a，b，下列命题中正确的是（）

A.｜a＋b｜≥｜a｜＋｜b｜

B.｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜

C.若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa

D.设a，b都是非零向量，则使＝成立的充分条件是a＝2b

练后悟通

理解向量有关概念的关键点

（1）向量定义的关键是方向与长度；

（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；

（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等；

（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度；

（5）零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量平行.

考向1向量的线性运算

（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足＝2＝（）

A.－＋

B.－

C.－

D.－＋

（2）（人A必修二P14例6改编）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝（）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

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