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【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第二节球的切、接问题-7f5d903da909

2026-03-28 21:23:08

重点解读

球的切、接问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等.

八种常见球的切、接模型

1.正方体与球

（1）内切球：内切球直径2R＝正方体棱长a；

（2）棱切球：棱切球直径2R＝正方体的面对角线长a；

（3）外接球：外接球直径2R＝正方体体对角线长a.

2.长方体的外接球

外接球直径2R＝体对角线长（a，b，c分别为长方体的长、宽、高）.

3.正四面体的外接球

如图，设正四面体ABCD的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为a，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R＝a·＝a，即正四面体外接球半径为R＝a.

4.对棱相等的三棱锥的外接球

四面体ABCD中，AB＝CD＝m，AC＝BD＝n，AD＝BC＝t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体求解这类问题.

如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则三式相加可得a²＋b²＋c²＝R，则a²＋b²＋c²＝4R^2，所以R＝.

5.直棱柱（圆柱）的外接球

如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）.

（1）确定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圆圆心连线段O₁O₂的中点处；

（2）求外接球半径R，设三棱柱下底面外接圆半径为r，三棱柱的高为h，由图可知OO₁⊥平面ABC.在Rt△AO₁O中，OA＝R，AO₁＝r，OO₁＝R＝.

6.正棱锥的外接球与内切球

（1）内切球：V_正棱锥＝S_表·r＝S_底·h（等体积法），r是内切球半径，h为正棱锥的高；

（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半径为r，R²＝（h－R）²＋r²（正棱锥外接球半径为R，高为h）.

7.球内接圆锥

如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算R.如图2，当PC＞CB时，球心在圆锥内部；如图3，当PC＜CB时，球心在圆锥外部.

由图2、图3可知，OC＝h－R或R－h，故（h－R）²＋r²＝R^2，所以R＝.

8.球内接圆台

R²＝＋（）^2，其中r_1，r_2，h分别为圆台的上底面半径、下底面半径、高.

	求解与几何体的外接球有关问题
（定向精析突破）

考向1定义法

（1）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是（）

A.14πB.16πC.18πD.20π

（2）（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4（）

A.100πB.128π

C.144πD.192π

听课记录解题技法

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据球心到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可.

某建筑的形状可视为内外两个同轴圆柱，某爱好者制作了一个实心模型，已知模型内层底面直径为12 cm，外层底面直径为16 cm，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为20 cm的球面上，则此模型的体积为 cm³.

考向2补形法

、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的上底面A₁B₁C₁D₁绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD-EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝ABCD-EFGH外接球的表面积是.