【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第一节函数的概念及其表示

课标要求

1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

1.函数的概念及其表示

（1）函数的概念

（2）函数的表示法：表示函数的常用方法有、图象法和列表法；

（3）同一个函数：如果两个函数的相同，并且完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.

提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x²（x≥0）与y＝x².

2.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的取值区间，有着不同的　　　　　，这样的函数叫做分段函数.

提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

3.复合函数

对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的　　　　　　，记作y＝f（g（x））.

提醒 函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围.

1.直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.

2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数y＝1与y＝x⁰是同一个函数.（）

（2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（）

（3）函数f（x）＝的定义域为R.（）

（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.（）

2.（人A必修一P66例3改编）下列各组函数是同一个函数的为（）

A.f（x）＝x－1，g（x）＝

B.f（x）＝（x）＝x

C.f（x）＝（x）＝x

D.f（x）＝x²－2x－1，g（s）＝s²－2s－1

3.（人A必修一P101复习参考题7题改编）已知函数f（x）＝则f（f（））＝（）

A.62　　　　　　　　B.63

C.64D.65

4.（苏教必修一P106例3改编）已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为（）

A.{－1，1，3，5，7}B.（－1，7）

C.[1，7]D.{1，3，5，7}

5.函数f（）＝f（x）的解析式为（）

A.f（x）＝

B.f（x）＝（x≠0）

C.f（x）＝（x≠0，－1）

D.f（x）＝（x≠－1）

（1）（人A必修一P65例2改编）函数f（x）＝＋（x－1）⁰的定义域为（）

A.（，＋∞）B.［）∪（1，＋∞）

C.（）∪（1，＋∞）D.［，＋∞）

（2）已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（）

A.（－∞，－2）∪（－2，3]

B.（－∞，－2）∪（－2，1]

C.［－，－2）∪（－2，0]

D.［－，－2］

听课记录

解题技法

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求复合函数定义域的方法

如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a＝（）

A.－2　　　B.－1　　　C.1　　　D.2

：

（1）已知f（1－sin x）＝cos²x，求f（x）的解析式；

（2）已知f＝x²＋f（x）的解析式；

（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；

（4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.

解题技法

求函数解析式的4种方法

1.已知f（2x＋1）＝4x²－6x＋5，则f（x）＝.

2.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x²－7x＋5，则f（x）＝.

3.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝.

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