【2026版物理步步高大二轮专题复习讲义培优版专题三计算题培优2带电粒子在电磁场中的运动

一、带电粒子在组合场中的运动

1.带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较

2.常见运动及处理方法

例1　(2025·河南卷·15)如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v₀向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b到水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s=3h。不计重力。

(1)求磁感应强度的大小；

(2)求电场强度的大小；

(3)若粒子从a点以v₀竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度)

答案　(1)　(2)　(3)

解析(1)根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图甲所示

由题意可知θ=60°

设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r=rcosθ+h

解得r=2h

由牛顿第二定律有qv₀B=m

解得B=

(2)根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v₀，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得AB=s-2rsinθ=h

在电场中，粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，则粒子在电场中的运动时间t==

粒子沿电场方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有qE=ma

由运动学公式有-v₀sinθ+at=v₀sinθ

联立解得E=

(3)作出粒子在磁场和电场中运动的部分轨迹，如图乙所示

设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，粒子在磁场、电场中的运动具有周期性，在一个实际运动的周期T'内，粒子在磁场中运动的时间

t₁=T+T=T①

T===②

联立①②解得t₁=

将B=代入可得t₁=

粒子在电场中运动一次的时间t₂满足

v₀=

将E=代入可得t₂=

根据图乙中的几何关系可知，一个周期内粒子运动的位移(以向右为正方向)x=OO₁=h

说明经过一个周期后粒子运动到初始位置右侧，则漂移速度大小v===。

“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题

例2　(2025·山东青岛市一检)如图所示，xOy平面直角坐标系中，在第二象限内存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，O₁为圆心，半径为R，磁场边界与两坐标轴相切；y≤0区域内交替分布宽度均为d的匀强电场和匀强磁场，其边界均与x轴平行，匀强电场的电场强度大小为E₀，方向沿y轴负方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B₀，方向垂直于纸面向里。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从圆形边界上的P点以初速度v₀射入磁场，PO₁与x轴平行，v₀与PO₁夹角α=60°。粒子射出圆形磁场瞬间，在y>0区域内加上沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。已知圆形磁场的磁感应强度大小为>0区域内匀强电场的电场强度大小为，不计粒子重力。

(1)求粒子在圆形磁场区域做圆周运动的半径；

(2)求粒子离开圆形磁场区域后，到达x轴的速度大小；

(3)求粒子穿出y≤0区域内第二个电场时速度方向与竖直方向夹角的正弦值；

(4)若粒子到达y≤0区域内某个磁场下边界时，速度方向恰好沿x轴正方向，求此时速度大小。

答案　(1)R　(2)0　(3)　 (4)

解析(1)粒子在第二象限圆形磁场中，

有qv₀B₁=m

其中B₁=

解得r=R

(2)如图甲所示

由几何关系得粒子射出圆形磁场时距离x轴d₁=R(1-cosα)

粒子从射出圆形磁场到x轴，由动能定理得-qE₁d₁=mv²-m

解得v=0

(3)粒子在y≤0区域第一个电场中加速，由动能定理得qE₀d=m

粒子在y≤0区域第一个磁场中，有qv₁B₀=m

如图乙所示

由几何关系得r₁sinθ₁=d

粒子在y≤0区域经历两个电场加速，有2qE₀d=m₁sinθ₁=v₂sinθ₂

解得sinθ₂=

(4)设粒子在第n个磁场下边界的速度为v_n，粒子在y≤0区域整个向下运动过程中，由动能定理得nqE₀d=m

水平方向由动量定理得qB₀t=mv_n

其中t=nd

解得v_n=

正则动量定理的应用

利用动量定理即洛伦兹力的冲量等于速度的动量变化，把粒子某一方向的位移和垂直该方向的速度变化联系起来。具体用法如下：

①I_x=m(v_x'-v_x)=mΔv_x=-∑qBv_yΔt=-qBΔy或-qBΔy=mΔv_x

②I_y=m(v_y'-v_y)=mΔv_y=∑qv_xBΔt=qBΔx

qBΔx=mΔv_y

二、带电粒子在立体空间中的运动

带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表：

例3　(2024·湖南卷·14)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v₀。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。

(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；

(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；

(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。

答案　(1)　(2)　(3)

解析(1)电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x轴的匀速直线运动和在yOz平面内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y轴的分速度大小为v_y，由电子在x轴方向做匀速直线运动得L=v₀t

在yOz平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，

由牛顿第二定律知Bev_y=m

可得R===

若所有电子均能经过O进入电场，

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