【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第八节用空间向量研究夹角问题

课标要求

能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的过程，体会向量方法在研究空间角问题中的作用.

1.异面直线所成角

若异面直线l_1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝｜｜＝.

提醒 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值.

2.直线与平面所成角

如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝｜｜＝.

提醒 直线与平面所成角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值.

3.平面与平面的夹角

（1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图1.若平面α，β的法向量分别是n₁和n_{2，则平面}α与平面β的夹角即为向量n₁和n₂的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n_1，n2＞｜＝＝；

（2）二面角：二面角α-l-β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cos φ｜＝｜cos θ｜＝.

提醒 注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为［0，］.

1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.（）

（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.（）

（3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.（）

2.（人A选一P36例7改编）已知直线l₁的方向向量s₁＝（1，0，1），直线l₂的方向向量s₂＝（－1，2，－2），则l₁和l₂夹角的余弦值为（）

A.　　　B.　　　C.　　　D.

3.（人A选一P44习题15题改编）已知点E，F分别在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB_1，CC1上，且B₁E＝2EB，CF＝2FC_{1，则平面}AEF与平面ABC夹角的余弦值为 .

4.（人A选一P41练习3题改编）已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－l与α所成的角为.

5.（人A选一P41练习1题改编）已知两平面的法向量分别为m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），则两平面所成的二面角的大小为.

O-ABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，E为OC的中点，且OB＝OC＝2OA＝2，则直线AE与BC所成角的大小是（）

A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°

听课记录解题技法

用向量法求异面直线所成角的步骤

（1）坐标向量法

（2）基向量法

在一些不适合建立空间直角坐标系的题目中，一般先把直线的方向向量a，b用基向量表示，再由公式cos＜a，b＞＝求得cos＜a，b＞，进而求得两直线夹角.

1.如图，已知以O为圆心，2为半径的圆在平面α上，若PO⊥α，且PO＝4，OA，OB为圆O的半径，且∠AOB＝90°，M为AB的中点，则异面直线OB与PM所成角的余弦值为.

2.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱CC₁的中点，F在棱AD上，且＝λD₁E和A₁F所成角的余弦值为λ＝.

（1）如图所示，正四面体PABC中，M，N分别是BC，PC的中点，则AP与平面AMN所成角的正弦值为（）

A.B.

C.D.

（2）已知E，F，O分别是正方形ABCD的边BC，AD及对角线AC的中点，将△ACD沿着AC进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线EF与平面BOD所成角的余弦值的取值范围为.

听课记录解题技法

利用空间向量求线面角的解题步骤

提醒 线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值.

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