课标要求理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置 | 焦点在x轴上 | 焦点在y轴上 |
图形 |
|
|
标准方程 |  ＝1
(a>b>0) |  ＝1
(a>b>0) |
范围 | －a≤x≤a 且－b≤y≤b | －b≤x≤b 且－a≤y≤a |
顶点 | A1(－a，0)， A2(a，0)， B1(0，－b)， B2(0，b) | A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b，0)， B2(b，0) |
轴长 | 短轴长为2b，长轴长为2a |
焦点 | F1(－c，0)， F2(c，0) | F1(0，－c)， F2(0，c) |
焦距 | |F1F2|＝2c |
对称性 | 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 |
离心率 | e＝ (0<e<1) |
a，b，c的关系 | a2＝b2＋c2 |
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(×)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( √ )
(3)
＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(×)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(×)
2.已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为( )
A.
＝1B.
＝1
C.
＝1D.
＝1
答案 B
解析因为平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，且8>|F1F2|＝4，
所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆，
设椭圆方程为
＝1(a>b>0)，焦距为2c(c>0)，则
解得
故动点P的轨迹方程为
＝1.
3.(2024·黔东南模拟)椭圆
＝1(m>0)的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析由椭圆的标准方程可得a2＝5m，b2＝3m，所以离心率e＝
＝
.
4.若椭圆C：
＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A.3B.2＋
C.2D.
＋1
答案 A
解析由题意知a＝2，b＝
，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，
最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤
＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
题型一椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
答案 C
解析设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，且与圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，
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