【2026年高考数学基础版大一轮复习讲义精讲精炼第一章 §1.6一元二次方程、不等式

课标要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.

1.二次函数y=ax²+bx+c(a>0)与一元二次方程ax²+bx+c=0(a>0)，不等式ax²+bx+c>0(a>0)的解的对应关系

2.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；

(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

3.简单的绝对值不等式

|x|>a(a>0)的解集为(-∞，-a)∪(a，+∞)，|x|<a(a>0)的解集为(-a，a).

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若方程ax²+bx+c=0无实数根，则不等式ax²+bx+c>0的解集为R.(×)

(2)若不等式ax²+bx+c>0的解集为(x_1，x2)，则a<0.(√)

(3)若ax²+bx+c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(×)

(4)不等式≥0等价于(x-a)(x-b)≥0.(×)

2.(2024·保山模拟)已知不等式x²-3x+2≤0的解集为A，不等式<0的解集为B，则“x∈A”是“x∈B”的(　　)

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案　C

解析由x²-3x+2=(x-1)(x-2)≤0，解得1≤x≤2，所以A={x|1≤x≤2}，

由(x-2)(x-1)<0，解得1<x<2，所以B={x|1<x<2}，

所以集合B是集合A的真子集，

所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件.

3.若关于x的不等式-x²+ax-7≤0恒成立，则a的取值范围为(　　)

A.(-)

B.

C.(-∞，-)∪(，+∞)

D.(-∞，-]∪[，+∞)

答案　B

解析由题意得Δ=a²-4××(-7)≤0，

解得-≤a≤.

因此，实数a的取值范围是.

4.若关于x的不等式x²+(2m-1)x+m²-m>0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为.

答案　-3

解析根据题意，方程x²+(2m-1)x+m²-m=0的两根为3和4，

故有解得m=-3.

避免三种失误

(1)含参不等式的求解，注意分类讨论思想的运用，对参数分类时要做到不重不漏.

(2)当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.

(3)当Δ<0时，注意区分不等式ax²+bx+c>0(a≠0)的解集是R还是∅.

题型一求解一元二次不等式

命题点1　不含参的不等式

例1　(多选)下列选项中，正确的是(　　)

A.不等式-x²-x+2>0的解集为{x|x<-2或x>1}

B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}

C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}

D.设x∈R，则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件

答案　BD

解析由题知方程-x²-x+2=0的解为x₁=1，x₂=-2，所以不等式-x²-x+2>0的解集为{x|-2<x<1}，故A错误；

因为 -1≤0，即≤0，即(x+3)(x-2)≤0(x-2≠0)，解得-3≤x<2，所以不等式的解集为{x|-3≤x<2}，故B正确；

由|x-2|≥1，可得x-2≤-1或x-2≥1，

解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；

由|x-1|<1，可得-1<x-1<1，解得0<x<2，由<0，可得-4<x<5，因此，“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确.

命题点2　含参的不等式

例2　解关于x的不等式ax²-(a+4)x+4<0.

解原不等式可化为(ax-4)(x-1)<0，

所以当a=0时，解得x>1；

当0<a<4时，解得1<x<；

当a=4时，不等式无解；

当a>4时，解得<x<1；

当a<0时，不等式等价于(x-1)>0，

解得x<或x>1，

综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x>1}；

当0<a<4时，不等式的解集为；

当a=4时，不等式的解集为∅；

当a>4时，不等式的解集为；

当a<0时，不等式的解集为.

思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有

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