【2026版高考复习三维设计一轮课时培优讲义数学电子版第七节函数零点问题-8aadfc40912c

重点解读

利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式等结构的函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路：（1）可转化为利用导数研究其函数的图象与x轴（或直线y＝k）在该区间上的交点问题；（2）证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明f（a）·f（b）＜0.

f（x）＝e^x－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数.

解题技法

在借助函数图象研究函数零点问题时，要准确画出函数的图象，不仅要研究函数的单调性与极值的情况，还要关注函数值的正负以及变化趋势，把函数图象与x轴有无交点，哪一区间在x轴上方，哪一区间在x轴下方等情况分析清楚，这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况.

　若函数f（x）＝xln x－x＋｜x－a｜有且仅有两个零点，求a的取值范围.

（2025·郑州第三次质量检测）已知函数h（x）＝x²＋4－4（xsin x＋cos x），试证明h（x）在R上有且仅有三个零点.

解题技法

利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.

　已知函数f（x）＝e^x－ln（x＋2），求证：f（x）＞.

a＞0且a≠1，函数f（x）＝（x＞0），若曲线y＝f（x）与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

解题技法

在研究较复杂函数的零点（求较复杂方程的根）时，需构造出相应的函数，依据该函数的性质（单调性、极值等）求出函数的零点（方程的根），或利用零点（方程的根）求参数的取值范围.

　已知f（x）＝ax²（a∈R），g（x）＝2ln x，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围.

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