课标要求
1.理解直线的方向向量与平面的法向量.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系.
3.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的一些简单定理.
4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
5.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.直线的方向向量与平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，称此向量a为直线l的方向向量；
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 | 向量表示 |
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 | l1∥l2 | u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2 |
l1⊥l2 | u1⊥u2⇔＝0 |
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n | l∥α | u⊥n⇔u·n＝0 |
l⊥α | u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn |
平面α，β的法向量分别为n1，n2 | α∥β | n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 |
α⊥β | n1⊥n2⇔n1·n2＝0 |
3.空间距离
（1）点到直线的距离：
设
＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量
在直线l上的投影向量
＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝
＝
；
（2）点到平面的距离：
已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是
在直线l上的投影向量
的长度.因此PQ＝
＝
＝；
（3）直线到平面的距离、平面到平面的距离都可以转化为点到平面的距离.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直线的方向向量是唯一确定的.（）
（2）若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.（）
（3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直.（）
（4）平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面α内一点B所成向量
的长度.（）
2.（人A选一P31练习2题改编）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，y）分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则（）
A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝
C.x＝3，y＝15D.x＝6，y＝
3.（人A选一P28例1改编）已知平面α内有两点M（1，－1，2），N（a，3，3），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则a＝（）
A.4B.3
C.2D.1
4.（人A选一P34例6（1）改编）在空间直角坐标系中，已知A（1，－1，0），B（4，3，0），C（5，4，－1），则点A到直线BC的距离为（）
A.3B.
C.
D.
5.平面α的法向量为n＝（1，－1，2），
＝（2，0，－1），那么直线AB与平面α的位置关系是.
| 用空间向量证明线面位置关系 |
（师生共研过关） |
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
（1）BE⊥DC；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面PCD⊥平面PAD.
解题技法
利用空间向量证明平行、垂直的一般步骤
如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝
AB，B1C1∥BC且B1C1＝
BC，二面角A1-AB-C是直二面角.求证：
（1）A1B1⊥平面AA1C；
（2）AB1∥平面A1C1C.
| 用空间向量求空间距离 |
（定向精析突破） |
考向1点线距
如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA.当AO＝1时，求点E到直线BC的距离.
考向2点面距
ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.
（1）求点D到平面PEF的距离；
（2）求直线AC到平面PEF的距离.
解题技法
1.利用向量求点到直线的距离
设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝
.
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